Question

1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，且点P是曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）上的一个动点．
（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出直线l的直角坐标方程．
（Ⅱ）由题意P（$\sqrt{3}cosθ，sinθ$），从而点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|2sin（θ+60°）-1|}{\sqrt{2}}$，由此能求出点P到直线l的距离的最大值与最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，
∴ρsinθ+ρcosθ=4，
由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得x+y=4．
∴直线l的直角坐标方程为x+y=4．
（Ⅱ）∵点P是曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）上的一个动点，
∴P（$\sqrt{3}cosθ，sinθ$），
点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|2sin（θ+60°）-4|}{\sqrt{2}}$，
∴点P到直线l的距离的最大值d_max=$\frac{|-2-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
点P到直线l的距离的最小值d_min=$\frac{|2-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到直线的最大值与最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．