Question

16．在直角坐标系xoy，曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=acost+\sqrt{3}}\\{y=asint}\end{array}}\right.$（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线${C_2}：{ρ^2}=2ρsinθ+6$．
（1）说明C₁是哪种曲线，并将C₁的方程化为极坐标方程；
（2）已知C₁与C₂的交于A，B两点，且AB过极点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）由曲线C₁的参数方程求出C₁的普通方程，从而得到C₁为以C₁（$\sqrt{3}$，0）为圆心，以a为半径的圆，由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C₁的极坐标方程．
（2）法一：${C_1}：{（{x-\sqrt{3}}）^2}+{y^2}={a^2}，{C_2}：{x^2}+{y^2}-2y-6=0$，相减得公共弦方程，由AB过极点，求出公共弦方程为$\sqrt{3}x-y$=0，求出C₂（0，1）到公共弦的距离为d，由此能求出线段AB的长．
法二：由已知得${ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ+3-{a^2}=0$与ρ²=2ρsinθ+6为ρ的同解方程，从而$a=3，θ=\frac{π}{3}$或θ=$\frac{4π}{3}$．由此能求出线段AB的长．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=acost+\sqrt{3}}\\{y=asint}\end{array}}\right.$（t为参数，a＞0）．
∴C₁的普通方程为${（{x-\sqrt{3}}）^2}+{y^2}={a^2}$，
∴C₁为以C₁（$\sqrt{3}$，0）为圆心，以a为半径的圆，
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得C₁的极坐标方程为${ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ+3-{a^2}=0$．
（2）解法一：∵曲线${C_2}：{ρ^2}=2ρsinθ+6$．
∴${C_1}：{（{x-\sqrt{3}}）^2}+{y^2}={a^2}，{C_2}：{x^2}+{y^2}-2y-6=0$，
二者相减得公共弦方程为$2\sqrt{3}x-2y+{a^2}-9=0$，
∵AB过极点，∴公共弦方程$2\sqrt{3}x-2y+{a^2}-9=0$过原点，
∵a＞0，∴a=3，∴公共弦方程为$\sqrt{3}x-y$=0，
则C₂（0，1）到公共弦的距离为d=$\frac{|0-1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$AB=2\sqrt{7-\frac{1}{4}}=3\sqrt{3}$．
解法二：∵AB：θ=θ₀，
∴${ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ+3-{a^2}=0$与ρ²=2ρsinθ+6为ρ的同解方程，
∴$a=3，θ=\frac{π}{3}$或θ=$\frac{4π}{3}$．
∴$AB=|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3+24}=3\sqrt{3}$．

点评 本题考查曲线是哪门子种曲线的判断，考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查两点间距离公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．