Question

10．已知函数f（x）=|2x+1|-|2x-2|
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）≤a-2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）≥0，分类讨论，求得每个不等式的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得f_max（x）≤a-2，由（1）可得f_max（x）=3，从而求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）x≤-$\frac{1}{2}$，不等式可化为-2x-1+2x-2≥0，不成立；
-$\frac{1}{2}$＜x＜1，不等式可化为2x+1+2x-2≥0，∴x≥$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{4}$≤x＜1；
x≥1，不等式可化为2x+1-2x+2≥0，恒成立，
综上可得，不等式的解集为[$\frac{1}{4}$，+∞）．
（2）∵f（x）≤a-2对任意实数x恒成立，∴f_max（x）≤a-2．
由（1）可得，f_max（x）=3，∴3≤a-2，即实数a的取值范围为[5，+∞）．

点评 本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础档题．