Question

11．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-2t}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的普通方程为x²+y²-2y=0，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）设M（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）为直线l上一动点，MA切圆C于点A，求|MA|的最小值，及此时点M的极坐标．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程．
（2）圆C的普通方程为x²+y²-2y=0，圆心C（0，1），半径r=1，求出圆心C（0，1）到直线l的距离d=$\sqrt{5}$，从而|MA|的最小值|MA|_min=$\sqrt{{d}^{2}-{r}^{2}}$=2，此时${k}_{OM}=\frac{1}{2}$，直线OM的方程为：y=$\frac{1}{2}x+1$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，求出M（-2，0），由此有求出点M的极坐标．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-2t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t，得直线l的普通方程为：2x+y+4=0，
∴直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+4=0．
（2）圆C的普通方程为x²+y²-2y=0，圆心C（0，1），半径r=1，
M（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）为直线l上一动点，MA切圆C于点A，
∵圆心C（0，1）到直线l的距离d=$\frac{|0+1+4|}{\sqrt{4+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴|MA|的最小值|MA|_min=$\sqrt{{d}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{5-1}$=2，
此时${k}_{OM}=\frac{1}{2}$，直线OM的方程为：y=$\frac{1}{2}x+1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，得x=-2，y=0，∴M（-2，0），
∴$ρ=\sqrt{4+0}$=2，θ=π，
∴点M的极坐标为M（2，π）．

点评 本题考查直线、曲线的极坐标方程的求法，考查点的极坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．