Question

已知△ABC的边长a，b，c满足a≤b≤c，记k=min{

b

a

，

c

b

}，则k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：不等关系与不等式

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：根据a≤b≤c，得出

b

a

≥1，

c

b

≥1，a=b=c等号同时成立，k=min{

b

a

，

c

b

}，k≥1，运用1+

b

a

＞

c

a

，1+

b

a

＞

c b

a b

，得出k²-k-1＜0，求解即可．最后取交集．

解答： 解：∵△ABC的边长a，b，c满足a≤b≤c，
∴

b

a

≥1，

c

b

≥1，a=b=c等号同时成立，
∴k=min{

b

a

，

c

b

}，k≥1，
2b＞a+b＞c，
∴k＜2，
∵1+

b

a

＞

c

a

，
∴1+

b

a

＞

c b

a b

，
∵k=min{

b

a

，

c

b

}，
∴1+k＞

k

1 k

，
k²-k-1＜0，
解得：

1- 5

2

＜k＜

1+ 5

2

，
综上可得：1≤k＜

1+ 5

2

故答案为：1≤k＜

1+ 5

2

点评：本题考查了三角形中的边角关系，不等式，属于中档题，关键是确定不等式求解即可．