Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦点F₁的坐标为（-

3

，0），F₂是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF₁F₂的周长等于4+2

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c= 3 2a+2c=4+2 3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，联立

x2 4 +y2=1 y=kx-2

，得（1+4k²）x²-16kx+12=0，由此利用根的判别式、根与系数关系、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦点F₁的坐标为（-

3

，0），
F₂是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF₁F₂的周长等于4+2

3

，
∴

c= 3 2a+2c=4+2 3 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x2 4 +y2=1 y=kx-2

，得（1+4k²）x²-16kx+12=0，
△=（-16k）²-48（1+4k²）＞0，
由根与系数关系得x₁+x₂=

16k

1+4k2

，x₁•x₂=

12

1+4k2

，
∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
∴y₁y₂=k²x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
∴

12(1+k2)

1+4k2

-

32k2

1+4k2

+4=0，
解得k=±2，
∴直线l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．

点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、根与系数关系、向量知识的合理运用．