Question

已知函数f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值．
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，建立条件关系即可求实数k的值．
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，进行转化即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+k•2^-x是奇函数，
∴f（0）=0，
即1+k=0，
∴k=-1．
（2）∵x∈[0，+∞），均有f（x）＞2^-x，
即2^x+k•2^-x＞2^-x成立，k＞1-2^2x，
∴对x≥0恒成立，∴k＞[1-（2^2x）]_max．
∵y=1-（2^2x）在[0，+∞）上是减函数，
∴[1-（2^2x）]_max=1-1=0，∴k＞0．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数恒成立问题，利用指数函数的运算性质是解决本题的关键．