Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²-a_nS_n+2a_n=0．
（1）求a_n．
（2）若b_n=2^n-1，记{

1

bnSn

}前n项和为T_n，求证：T_n＜3．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n²-a_nS_n+2a_n=0由推出数列{

1

Sn

}是等差数列，进而求出S_n，再求出a_n；
（2）用裂项求和法求出T_n，不等式得证．

解答： 解：（1）由S₁=a₁=1，S_n²-a_nS_n+2a_n=0知，
（1+a₂）²-a₂（1+a₂）+2a₂=0，
解得，a₂=-

1

3

，S₂=

2

3

，
∵S_n²-a_nS_n+2a_n=0，
∴S_n²-（S_n-S_n-1）S_n+2（S_n-S_n-1）=0，
∴S_n-1S_n+2S_n-2S_n-1=0，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
则数列{

1

Sn

}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，
则

1

Sn

=1+

1

2

（n-1）=

n+1

2

，
则S_n=

2

n+1

，
则当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

；
则a_n=

1，n=1 - 2 n(n+1) ，n≥2

．
（2）由题意，
T_n=

1

21-1

×1+

1

22-1

×

3

2

+

1

23-1

×2+…+

1

2n-1

×

n+1

2

①；
2T_n=2×1+

1

21-1

×

3

2

+

1

22-1

×2+…+

1

2n-2

×

n+1

2

②；
②-①得，
T_n=2+

1

2

（

1

21-1

+

1

22-1

+

1

23-1

+…+

1

2n-2

）-

1

2n-1

×

n+1

2

=2+

1

2

×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

n+1

2n

=3-

n+3

2n

＜3．

点评：本题考查了数列通项公式的求法，同时考查了裂项求和法，第一问的跨度较大，是难点．