Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与x轴平行，求y=f（x）的单调区间和极值；
（2）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）若g（x）=f（x）+

1

x

在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再列出一个等式，最后解方程组即可求得a．，再利用导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值即可．
（2）先求导，再根据a的值进行分类讨论即可．
（3）先求出g（x）的导数，再分a≥0，a＜0，进行讨论，当a＜0，构造函数h（x）=ax²+x-1，求得a的范围．

解答： 解：（1）f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，有f'（1）=0，
得a=-1，故f′(x)=

-x+1

x

，
令f'（x）＞0，得x∈（0，1），故f（x）在（0，1）递增，
令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），故f（x）在（1，+∞）递减，
故f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），f_极大值（x）=f（1）=-1，无极小值，
（2）f′(x)=

ax+1

x

(x＞0)
①当a≥0时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，
②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x∈(0，-

1

a

)，
令f'（x）＜0，得x∈(-

1

a

，+∞)，
所以f（x）在（0，-

1

a

）递增，在f（x）在（-

1

a

，+∞）递减，
综上：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增
当a＜0时，f（x）在（0，-

1

a

）递增，在f（x）在（-

1

a

，+∞）递减，
（3）由题意可知：g(x)=ax+lnx+

1

x

在[2+∞）上是单调函数g′(x)=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；
当a＜0时，令h（x）=ax²+x-1，则由题意可知△=1+4a≤0或

△=1+4a＞0 h(2)≤0 - 1 2a ≤2

，
解得：a≤-

1

4

．
∴a的取值范围是(-∞，-

1

4

]∪[0，+∞)

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．