Question

已知a≠0，试讨论函数f（x）=

a

1-x2

在区间（0，1）上单调性，并加以证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：用函数的单调性定义来判断并证明f（x）在（0，1）上的单调性即可．

解答： 解：a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，
a＞0时，f（x）在（0，1）上是增函数；
证明如下：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=

a

1-x12

-

a

1-x22

=

a(x1+x2)(x1-x2)

(1-x12)(1-x22)

；
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁+x₂＞0，
x₁-x₂＜0，
（1-x12）（1-x22）＞0；
∴当a＜0时，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在（0，1）上是减函数；
当a＞0时，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）在（0，1）上是增函数．
综上，a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，
a＞0时，f（x）在（0，1）上是增函数．

点评：本题考查了用函数的单调性定义判断与证明函数的单调性问题，也考查了分类讨论的思想应用问题，是基础题目．