Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是公比为q的等比数列，且a₁=b₁=3，a₃=b₂-2，S₄=b₃-3．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=

1

2

（a_n-1）•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，可得

3+2d=3q-2 12+6d=3q2-3

，可求得q=3，d=2，从而可得数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）由（1）知，c_n=

1

2

（a_n-1）•b_n=n•3ⁿ，T_n=1×3+2×3²+…+n•3ⁿ，3T_n=1×3²+2×3³…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，利用错位相减法即可求得答案．

解答： 解：（1）依题意，a₃=3+2d，b₂=3q，S₄=

(3+3+3d)×4

2

=12+6d，b₃=3q²，
即

3+2d=3q-2 12+6d=3q2-3

⇒

2d=3q-5 6d=3q2-15

，消去d，解得q=3或q=0（舍去），于是d=2，
从而有a_n=2n+1，b_n=3×3^n-1=3ⁿ…6分
（2）由（1）知，c_n=

1

2

（a_n-1）•b_n=n•3ⁿ，
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×3+2×3²+…+n•3ⁿ…7分
故有3T_n=1×3²+2×3³…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹…8分
两式相减得-2T_n=3+3²+3³…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(3n-1)

2

-n×3ⁿ⁺¹
=

(1-2n)×3n+1-3

2

…10分
化简得：T_n=

3+(2n-1)×3n+1

4

…12分

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，突出考查错位相减法求和的应用，属于中档题．