Question

（理）若P，Q为y=1-x²上在y轴两侧的点，则过P，Q点的切线与x轴围成的三角形的面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：由P，Q为y=1-x²上在y轴两侧的点，设P（a，1-a²），Q（b，1-b²），（a＞0＞b），曲线y=1-x²在P（a，1-a²）处的切线为l₁：y=-2ax+a²+1，曲线y=1-x²在Q（b，1-b²）处的切线为l₂：y=-2bx+b²+1，所求图形为△EFG，其面积S_△EFG=

1

4

（a-b）（2-ab-

1

ab

），由此能求出所求面积最小值．

解答： 解：∵P，Q为y=1-x²上在y轴两侧的点，
∴设P（a，1-a²），Q（b，1-b²），（a＞0＞b），
又曲线y=1-x²在点（x，y）的切线斜率为y′=-2x，
∴曲线y=1-x²在P（a，1-a²）处的切线为l₁：y=-2a（x-a）+1-a²，即y=-2ax+a²+1，
曲线y=1-x²在Q（b，1-b²）处的切线为l₂：y=-2b（x-b）+1-b²，即y=-2bx+b²+1，
直线l₁与x轴的交点为点E（

a2+1

2a

，0），直线l₂与x轴的交点为点F（

b2+1

2b

，0），
直线l₁与l₂的交点为点G（

a+b

2

，1-ab），
∴所求图形为△EFG，其面积S_△EFG=（

a2+1

2a

-

b2+1

2b

）•

1-ab

2

，
化简得：S_△EFG=

1

4

（a-b）（2-ab-

1

ab

），
令f（a，b）=S_△EFG=

1

4

（a-b）（2-ab-

1

ab

），
假设b=b₀＜0时，f（a，b）才能取得最小值，
则令f（a）=

1

4

（a-b₀）（2-ab₀-

1

ab0

），
则f′（a）=-2+2ab₀-b02+

1

a2

，
令f′（a₀）=0，得：-2+2a₀b₀-b02+

1

a02

，
得f（a）_min=f（a₀）=

1

4

（a₀-b₀）（2-a₀b₀-

1

a0b0

），
即a=a₀，b=b₀时，f（a，b）取得最小值f（a，b）_min=f（a₀，b₀）=

1

4

（a₀-b₀）（2-a₀b₀-

1

a0b0

），
即a=a₀＞0时，f（a，b）才能取得最小值，
则令f（b）=

1

4

（a₀-b）（2-a₀b-

1

a0b

），
则f′（b）=-2+2a₀b-a₀²+

1

b2

，
令f′（b₀）=0，得：-2+2a₀b₀-a₀²+

1

b02

，
得f（a）_min=f（a₀）=

1

4

（a₀-b₀）（2-a₀b₀-

1

a0b0

），
∴-2+2a₀b₀-b₀²+

1

a02

，-2+2a₀b₀-a₀²+

1

b02

=0，（a₀＞0＞b₀），
解得a₀=

3

3

，b₀=-

3

3

，f（a，b）_min=f（a₀，b₀）=

8 3

9

，
∴所求面积最小值为（S_△EFG）_min=

8 3

9

．

点评：本题考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意直线方程、导数性质、三角形面积公式等知识点的灵活运用．