Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，A，C分别是椭圆的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则∠BDF的余弦值是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出D（-

4

3

，

3

3

），从而得到

DB

=(-

2

3

，-

3

3

)，

DF

=(

1

3

，-

3

3

)，由此能求出∠BDF的余弦值．

解答： 解：如图，∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，A，C分别是椭圆的上、下顶点，
B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，
∴A（0，

3

），C（0，-

3

），B（-2，0），F（-1，0），
∴直线AB：

x

-2

+

y

3

=1，直线CD：

x

-1

+

y

- 3

=1，
∴解方程组

x -2 + y 3 =1 x -1 + y - 3 =1

，得D（-

4

3

，

3

3

），
∴

DB

=(-

2

3

，-

3

3

)，

DF

=(

1

3

，-

3

3

)，
∴cos＜

DB

，

DF

＞=

- 2 9 + 3 9

4 9 + 3 9 • 1 9 + 3 9

=

7

14

．
∴∠BDF的余弦值是

7

14

．
故答案为：

7

14

．

点评：本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．