题目内容
设函数是定义在R上的增函数且f（x）≠0，对于任意x1，x2∈R都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x1-x2）=
；
（3）若f（1）=2，解不等式f（3x）＞4f（x）．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x1-x2）=
| f(x1) |
| f(x2) |
（3）若f（1）=2，解不等式f（3x）＞4f（x）．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：函数的性质及应用
分析：（1）令x1=x2，便得到f(2x2)=f2(x2)＞0，所以得到f（x）＞0；
（2）根据已知条件得f（x1-x2）=f（x1）f（-x2），所以需要求f（-x2），令x1=x2，会得到f（0）=f（x2）f（-x2），所以要求f（0），令x1=x2=0便得到f（0）=1，所以求得f（-x2）=
，这样本问便证出来了；
（3）由f（1）=2，4f（x）=2f（1）f（x）=2f（1+x）=f（1）f（1+x）=f（2+x），所以原不等式变成：f（3x）＞f（2+x），根据f（x）的单调性即可解出该不等式．
（2）根据已知条件得f（x1-x2）=f（x1）f（-x2），所以需要求f（-x2），令x1=x2，会得到f（0）=f（x2）f（-x2），所以要求f（0），令x1=x2=0便得到f（0）=1，所以求得f（-x2）=
| 1 |
| f(x2) |
（3）由f（1）=2，4f（x）=2f（1）f（x）=2f（1+x）=f（1）f（1+x）=f（2+x），所以原不等式变成：f（3x）＞f（2+x），根据f（x）的单调性即可解出该不等式．
解答：
解：（1）证：取x1=x2则：f（2x2）=f2（x2），∵f（x）≠0，∴f2（x2）＞0，即f（2x2）＞0；
∵x2是任取的，即R上任意的实数，∴任意的x∈R，f（x）＞0；
（2）证：取x1=x2=0得：f（0）=f2（0），∵f（0）≠0，∴f（0）=1；
取x1=-x2，则f（0）=f（-x2）f（x2）=1，∴f(-x2)=
；
∴f（x1-x2）=f(x1)f(-x2)=
；
（3）∵f（1）=2，∴2f（1）=4；
∴4f（x）=2f（1）f（x）=2f（1+x）=f（1）f（1+x）=f（2+x）；
∴不等式f（3x）＞4f（x）变成：f（3x）＞f（2+x）；
∵f（x）是R上的增函数，∴3x＞2+x，解得x＞1；
∴原不等式的解集为（1，+∞）．
∵x2是任取的，即R上任意的实数，∴任意的x∈R，f（x）＞0；
（2）证：取x1=x2=0得：f（0）=f2（0），∵f（0）≠0，∴f（0）=1；
取x1=-x2，则f（0）=f（-x2）f（x2）=1，∴f(-x2)=
| 1 |
| f(x2) |
∴f（x1-x2）=f(x1)f(-x2)=
| f(x1) |
| f(x2) |
（3）∵f（1）=2，∴2f（1）=4；
∴4f（x）=2f（1）f（x）=2f（1+x）=f（1）f（1+x）=f（2+x）；
∴不等式f（3x）＞4f（x）变成：f（3x）＞f（2+x）；
∵f（x）是R上的增函数，∴3x＞2+x，解得x＞1；
∴原不等式的解集为（1，+∞）．
点评：考查应用条件：f（x1+x2）=f（x1）f（x2）的能力，以及根据函数单调性解不等式的方法．
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