Question

设函数f（x）=

(x2+1)

-ax，x∈R．是否存在实数a，使函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数？若存在，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的判断与证明

专题：导数的概念及应用

分析：当a≤0时，函数y=

x2+1

，y=-ax在区间[0，+∞）上是单调增函数．kd 函数f（x）=

(x2+1)

-ax，在区间[0，+∞）上是单调增函数．当a＞0时，f′（x）=

x

x2+1

-a，若函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，
则f′（x）≤0恒成立，即a≥

x

x2+1

，令g（x）=

x

x2+1

．求出其最大值即可．

解答： 解：当a≤0时，函数y=

x2+1

，y=-ax在区间[0，+∞）上是单调增函数．
∴函数f（x）=

(x2+1)

-ax，在区间[0，+∞）上是单调增函数．
当a＞0时，f′（x）=

x

x2+1

-a，
若函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，
∴f′（x）≤0恒成立，∴a≥

x

x2+1

，
令g（x）=

x

x2+1

．
当x=0时，g（0）=0．
当x＞0时，g（x）=

1

1+ 1 x2

＜1，
∴a≥1．
因此，当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．