Question

14．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰三角形，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，M是侧棱CC₁上一点，设MC=h．
（1）若BM⊥A₁C，求h的值；
（2）若h=2，求直线BA₁与平面ABM所成的角．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0，求h的值；
（2）求出平面ABM的一个法向量，利用夹角公式，求直线BA₁与平面ABM所成的角．

解答 解：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（2，0，0），M（0，2，h），A₁（0，0，4），C（0，2，0）
$\overrightarrow{BM}$=（-2，2，h），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，2，-4）
由BM⊥A₁C得，$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0，即2×2-4h=0
解得h=1；
（2）M（0，2，2），$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，2，2），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-2，0，4），
设平面ABM的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
设直线BA₁与平面ABM所成的角为θ，则sinθ=|$\frac{4}{\sqrt{2}•\sqrt{20}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴直线BA₁与平面ABM所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查棱柱的结构特征，直线与平面所成的角，考查转化思想，计算能力，是中档题．