题目内容
已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）-1是奇函数，则不等式f（x）＜ex的解集为 ．
考点：函数奇偶性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：根据条件构造函数令g（x）=
，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．
| f(x) |
| ex |
解答：
解：由题意令g（x）=
，
则g′(x)=
=
，
∵f（x）＞f′（x），
∴g′（x）＜0，
即g（x）在R上是单调递减函数，
∵y=f（x）-1为奇函数，
∴f（0）-1=0，即f（0）=1，g（0）=1，
则不等式f（x）＜ex等价为
＜1=g（0），
即g（x）＜g（0），
解得x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．
| f(x) |
| ex |
则g′(x)=
| f′(x)•ex-f(x)•(ex)′ |
| e2x |
| f′(x)-f(x) |
| ex |
∵f（x）＞f′（x），
∴g′（x）＜0，
即g（x）在R上是单调递减函数，
∵y=f（x）-1为奇函数，
∴f（0）-1=0，即f（0）=1，g（0）=1，
则不等式f（x）＜ex等价为
| f(x) |
| ex |
即g（x）＜g（0），
解得x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．
点评：本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．
练习册系列答案
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