Question

11．点P是曲线C₁：（x-2）²+y²=4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹方程为曲线C₂．
（1）求曲线C₁，C₂的极坐标方程；
（2）射线θ=$\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$与曲线C₁，C₂分别交于A，B两点，定点M（2，0），求△MAB的面积．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：（x-2）²+y²=4上，把互化公式代入可得：曲线C₁的极坐标方程．设Q（ρ，θ），则$P（{ρ，θ-\frac{π}{2}}）$，代入即可得出曲线C₂的极坐标方程．
（2）M到射线$θ=\frac{π}{3}$的距离为$d=2sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，$|{AB}|={ρ_B}-{ρ_A}=4（{sin\frac{π}{3}-cos\frac{π}{3}}）=2（{\sqrt{3}-1}）$，即可得出面积．

解答 解：（1）曲线C₁：（x-2）²+y²=4上，把互化公式代入可得：曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ．
设Q（ρ，θ），则$P（{ρ，θ-\frac{π}{2}}）$，则有$ρ=4cos（{θ-\frac{π}{2}}）=4sinθ$．
所以，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（2）M到射线$θ=\frac{π}{3}$的距离为$d=2sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，$|{AB}|={ρ_B}-{ρ_A}=4（{sin\frac{π}{3}-cos\frac{π}{3}}）=2（{\sqrt{3}-1}）$，
则$S=\frac{1}{2}|{AB}|×d=3-\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程及其应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．