Question

2．平面内三个向量$\overrightarrow{{a}_{i}}$（i=1，2，3）满足$\overrightarrow{{a}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{2}}$，|$\overrightarrow{{a}_{i}}$-$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$|=1（规定$\overrightarrow{{a}_{4}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$），则（　　）

• A． （$\overrightarrow{{a}_{i}}$•$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_min=0
• B． （$\overrightarrow{{a}_{i}}$•$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_min=-1
• C． （$\overrightarrow{{a}_{i}}$•$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_max=$\frac{3}{4}$
• D． （$\overrightarrow{{a}_{i}}$•$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_max=$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由题意可知三向量起点在圆上，终点组成边长为1的等边三角形，建立坐标系，设起点坐标，表示出各向量的数量积，利用三角恒等变换求出最值即可得出结论．

解答 解：设$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{{a}_{3}}$，
∵|$\overrightarrow{{a}_{i}}$-$\overrightarrow{{a}_{i+1}}$|=1，∴△ABC是边长为1的等边三角形，
∵$\overrightarrow{{a}_{1}}⊥\overrightarrow{{a}_{2}}$，∴M在以AB为直径的圆上，
以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系，则A（-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$，0），C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设M（$\frac{1}{2}$cosα，$\frac{1}{2}$sinα），
则$\overrightarrow{MA}$=（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosα，-$\frac{1}{2}$sinα），$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cosα，-$\frac{1}{2}$sinα），$\overrightarrow{MC}$=（-$\frac{1}{2}$cosα，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$sinα），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}$=$\frac{1}{2}$cosα（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cosα）+$\frac{1}{2}$sinα（$\frac{1}{2}$sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$cos（α+$\frac{π}{3}$），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}$的最大值为$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，最小值为$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$．
由图形的对称性可知$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}$的最大值为$\frac{3}{4}$，最小值为-$\frac{1}{4}$．
又$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，
∴（$\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_max=$\frac{3}{4}$，（$\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{{a}_{i+1}}$）_min=-$\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．