Question

17．设a∈R是常数，函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
（Ⅰ）用定义证明函数f（x）是增函数
（Ⅱ）试确定a的值，使f（x）是奇函数
（Ⅲ）当f（x）是奇函数，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）、根据题意，设-∞＜x₁＜x₂＜+∞，则有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，结合函数指数函数的单调性，分析可得${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0以及（${2}^{{x}_{1}}$+1）与（${2}^{{x}_{2}}$+1）均大于0，即可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即可证明函数单调性；
（Ⅱ）根据题意，结合函数的奇偶性的性质，可得a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=-（a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），解可得a的值，即可得答案；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得函数的解析式，将其变形可得2^x=$\frac{1+y}{1-y}$＞0，解可得y的范围，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，设-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
则f（x₂）-f（x₂）=（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
又由函数y=2^x为增函数，且x₁＜x₂，
则有${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，
而（${2}^{{x}_{1}}$+1）与（${2}^{{x}_{2}}$+1）均大于0，
则有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
故函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为增函数，
（Ⅱ）根据题意，f（x）是奇函数，
则必有f（-x）=-f（x），
即a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=-（a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），
解可得a=1；
（Ⅲ）根据题意，由（2）可得，若f（x）是奇函数，则有a=1，
故f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
变形可得2^x=$\frac{1+y}{1-y}$＞0
解可得：-1＜k＜1，
故函数f（x）的值域为（-1，1）．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性的判定与应用，关键是正确理解函数的奇偶性、单调性．