Question

已知奇函数f（x）=a-

b

2x+1

的图象经过点（1，1）
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并给出证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：本题（Ⅰ）可以先根据函数f（x）是奇函数，通过特殊值法得到关于a、b的方程，从而求出ab的值，再验证函数f（x）是奇函数；（Ⅱ）直接用定义法判断并证明函数f（x）的单调性．

解答： 解：（Ⅰ）∵奇函数f（x）=a-

b

2x+1

的图象经过点（1，1），
∴f（0）=0，
f（1）=1，
∴a-

b

2

=0，
a-

b

3

=1，
∴a=3，b=6．
∴f（x）=3-

6

2x+1

．
∴f（-x）=3-

6

2-x+1

=3-

6×2x

1+2x

=-3+

6

2x+1

=-f（x）．
函数f（x）是奇函数，适合题意，
∴a=3，b=6．
（Ⅱ）函数f（x）在定义域R上是单调递增的函数．
证明：在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=（3-

6

2x2+1

）-（3-

6

2x1+1

）
=

6(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2 x2-2x1＞0，
2x1+1＞0，
2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴函数f（x）是R上的增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用和函数单调性的定义，本题难度不大，但是要注意在解题过程中逻辑的严密性，本题属于中档题．