Question

以椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴A₁A₂为一边向外作一等边三角形A₁A₂P，若随圆的一个短轴的端点B恰为三角形A₁A₂P的重心，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  3

  3

• C、

  5

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由重心性质可知|OP|=3|OB|，由正三角形可得

3

a=3b，结合a²=b²+c²可求离心率．

解答： 解：∵短轴的端点B恰为三角形A₁A₂P的重心，
∴|OP|=3|OB|，
∵A₁A₂P为正三角形，
∴|OP|=|A₁P|sin60°=2a×

3

2

=

3

a，
故

3

a=3b，即a=

3

b，
∴离心率e=

c

a

=

c2 a2

=

a2-b2 a2

=

3b2-b2 3b2

=

6

3

，
故选：D．

点评：本题考查椭圆的简单性质及离心率的求解，考查学生的运算求解能力，属基础题．