Question

已知点P到两个定点M（-1，0）、N（1，0）距离的比为

2

，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：（1）设出点P的坐标为（x，y），由题设有

|PM|

|PN|

=

2

，代入两点间的距离公式后整理得答案；
（2）由点N到PM的距离为1，结合|MN|=2可得∠PMN=30°，从而求得直线PM的斜率，写出直线PM的方程．联立直线方程和圆的方程求得P的坐标，然后由直线方程的两点式求得直线PN的方程．

解答： 解：（1）设点P的坐标为（x，y），由题设有

|PM|

|PN|

=

2

，
即

(x+1)2+y2

=

2

(x-1)2+y2

．
整理得x²+y²-6x+1=0；
（2）∵点N到PM的距离为1，|MN|=2，
∴∠PMN=30°，直线PM的斜率为±

3

3

，
直线PM的方程为y=±

3

3

(x+1)．
联立

y=- 3 3 (x+1) x2+y2-6x+1=0

，整理得x²-4x+1=0．
解得x=2±

3

．
代入y=-

3

3

(x+1)，得点P的坐标为(2+

3

，-1-

3

)或(2-

3

，1-

3

)；
联立

y= 3 3 (x+1) x2+y2-6x+1=0

，求得点P的坐标为(2+

3

，1+

3

)或(2-

3

，-1+

3

)．
∴直线PN的方程为y=x-1或y=-x+1．

点评：本题考查了圆的标准方程的求法，考查了直线和圆的位置关系，训练了由直线上的两点坐标求直线方程，是中档题．