Question

已知函数y=f（x）的图象与方程

x•|x|

25

-

y•|y|

9

=1的曲线重合，则下列四个结论：
①f（x）是增函数．
②函数f（x）的图象是中心对称图形．
③函数f（x）的图象是轴对称图形．
④函数f（x）有且只有一个零点．
其中正确的是

 

（多填、少填、错填均得零分）．

Answer 1

考点：曲线与方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：函数y=f（x）的图象与方程

x•|x|

25

-

y•|y|

9

=1的曲线重合．当x，y≥0时，方程化为

x2

25

-

y2

9

=1，其图象为双曲线在第一象限的部分（包括点（5，0））；当x＞0，y＜0时，方程化为

x2

25

+

y2

9

=1，其图象为椭圆线在第四象限的部分（包括点（0，-3））；当x＜0，y＞0时，方程化为-

x2

25

-

y2

9

=1，此时无图形；当x＜0，y＜时，方程化为-

x2

25

+

y2

9

=1，其图象为双曲线在第三象限的部分．画出图象即可得出．

解答： 解：函数y=f（x）的图象与方程

x•|x|

25

-

y•|y|

9

=1的曲线重合．
当x，y≥0时，方程化为

x2

25

-

y2

9

=1，其图象为双曲线在第一象限的部分（包括点（5，0））；
当x＞0，y＜0时，方程化为

x2

25

+

y2

9

=1，其图象为椭圆线在第四象限的部分（包括点（0，-3））；
当x＜0，y＞0时，方程化为-

x2

25

-

y2

9

=1，此时无图形；
当x＜0，y＜时，方程化为-

x2

25

+

y2

9

=1，其图象为双曲线在第三象限的部分．
画出图象：可得：
①f（x）是增函数．
②函数f（x）的图象不是中心对称图形．
③函数f（x）的图象不是轴对称图形．
④函数f（x）有且只有一个零点（5，0）．
综上可得：其中正确的是 ①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查了椭圆与双曲线的图象及其性质、分类讨论的思想方法，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于中档题．