Question

1．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足sin²A+sin²C-sin²B=$\sqrt{3}$sinA•sinC
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）点D在线段BC上，满足DA=DC，且a=11，cos（A-C）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求线段DC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理以及余弦定理可得cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求出B的值，
（Ⅱ）根据正弦定理和三角形的关系即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理及sin²A+sin²C-sin²B=$\sqrt{3}$sinA•sinC可得，
a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B∈（0，π），
（Ⅱ）由条件∠BAD=∠A-∠C，
由cos（A-C）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$可得sin（A-C）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
设AD=x，则CD=x，BD=11-x，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sinB}$，
故$\frac{11-x}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{x}{\frac{1}{2}}$，解得x=4$\sqrt{5}$-5，
所以AD=DC=4$\sqrt{5}$-5

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了学生的运算能力，属于基础题．