Question

9．已知f（x）=$\frac{{2+ln{x^2}}}{x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式e^x（2x³-3x²）-lnx-ax＞1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导函数的符号判断函数的单调性，求解单调区间即可．
（2）由不等式e^x（2x³-3x²）-lnx-ax＞1恒成立，得到${e^x}（2{x^2}-3x）-a＞\frac{lnx+1}{x}$恒成立，设$g（x）={e^x}（2{x^2}-3x）-a，h（x）=\frac{lnx+1}{x}$，求出$g'（x）={e^x}（2{x^2}+x-3）={e^x}（2x+3）（x-1），h'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$
利用函数的单调性求出函数的最值，即可求解a的范围．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{{2+ln{x^2}}}{x}$得：$f'（x）=\frac{{\frac{2}{x}x-2-ln{x^2}}}{x^2}=\frac{{-ln{x^2}}}{x^2}$
由于定义域为{x|x≠0}，
所以由y'＞0得：0＜x＜1或-1＜x＜0
所以由y'＜0得：x＜-1或x＞1
即得函数在区间（0，1），（-1，0）上单调递增，在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减．
（2）由不等式e^x（2x³-3x²）-lnx-ax＞1恒成立，
即${e^x}（2{x^2}-3x）-a＞\frac{lnx+1}{x}$恒成立
设$g（x）={e^x}（2{x^2}-3x）-a，h（x）=\frac{lnx+1}{x}$得：
$g'（x）={e^x}（2{x^2}+x-3）={e^x}（2x+3）（x-1），h'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，
因为它们的定义域（0，+∞），所以易得：
函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；
函数h（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；
这两个函数在x=1处，g（x）有最小值，h（x）有最大值，
所以要使不等式${e^x}（2{x^2}-3x）-a＞\frac{lnx+1}{x}$恒成立，
则只需满足$e（2-3）-a＞\frac{ln1+1}{1}$，即a＜-1-e．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数恒成立转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．