Question

12．（1）求经过点的P（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$），Q（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1）的椭圆的标准方程；
（2）求与椭圆$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1有公共焦点，且离心率e=$\frac{5}{4}$的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0．m≠n），利用待定系数当能求出椭圆方程．
（2）求出椭圆$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的焦点坐标，设出双曲线的方程，据题意得到参数c的值，根据双曲线的离心率，得到参数a的值，从而得到双曲线的方程．

解答 解：设椭圆的方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0．m≠n）
∵经过两点P（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$），Q（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1），
∴$\frac{2}{3}$m+3n=1.$\frac{8}{9}$m+n=1，
∴m=1，n=$\frac{1}{9}$，
∴经过点的P（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$），Q（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1）的椭圆的标准方程$\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}$=1；
（2）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的焦点坐标为（-5，0）和（5，0），
设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
则a²+b²=25，…（2分）
∵双曲线的离心率等e=$\frac{5}{4}$=$\frac{c}{a}$，∴a=4．     
∴b²=c²-a²=9．                           
故所求双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查双曲线的简单性质和标准方程．解答的关键在于考生对圆锥曲线的基础知识的把握．