Question

17．若非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$满足$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$+3$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$，且$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$=$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$，则$\overrightarrow b$与$\overrightarrow c$的夹角为$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$+3$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$，得到$\overrightarrow a$=-2$\overrightarrow b$-3$\overrightarrow c$，结合$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$=$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$，得到|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{-2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$，|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$，然后代入数量积求夹角公式求解．

解答 解：∵$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$+3$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow a$=-2$\overrightarrow b$-3$\overrightarrow c$，
代入$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$，得（-2$\overrightarrow b$-3$\overrightarrow c$）•$\overrightarrow b$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$，即|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{-2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$，
再代入$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$=$\overrightarrow c$•$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$=$\overrightarrow c$•（-2$\overrightarrow b$-3$\overrightarrow c$），即|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$，
∴cos＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{c}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow b$与$\overrightarrow c$的夹角为$\frac{3π}{4}$，
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．