Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△F₁AB是顶角A为120°的等腰三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 5-2$\sqrt{3}$
• B． $5+2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5-2\sqrt{3}}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据双曲线的定义和性质，结合余弦定理建立方程关系，利用双曲线的离心率的定义进行求解即可．

解答 解：由题设及双曲线定义知，|AF₁|-|AF₂|=2a=|BF₂|，|BF₁|-|BF₂|=2a，
∴|BF₁|=4a．在△F₁BF₂中，|F₁F₂|=2c，∠F₂BF₁=30°，
由余弦定理得，$4{c^2}=4{a^2}+16{a^2}-2×2a×4a×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{5-2\sqrt{3}}$，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线的离心率的计算，根据条件结合双曲线的定义和性质，利用余弦定理是解决本题的关键．