Question

10．知函数f（x）=|lnx|，设x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂）．
（1）证明：（x₁-1）（x₂-1）＜0，且x₁x₂=1．
（2）若x₁+x₂+f（x₁）+f（x₂）＞M对任意满足条件的x₁，x₂恒成立，求实数M的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据对数的运算性质，可得lnx₁=-lnx₂，进而得到x₁x₂=1，分类讨论（x₁-1）（x₂-1）的符号，可得结论；
（2）不妨令x₂＞1，则x₁+x₂+f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}}$+x₂+2lnx₂＞M恒成立，令g（x）=$\frac{1}{x}+x+2lnx$，x＞1，可得答案．

解答 证明：（1）∵函数f（x）=|lnx|，x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂）．
∴lnx₁=-lnx₂，即lnx₁+lnx₂=ln（x₁•x₂）=0，
即x₁x₂=1，
若x₂＞1，则x₁＜1，则（x₁-1）（x₂-1）＜0，
若x₂＜1，则x₁＞1，则（x₁-1）（x₂-1）＜0，
综上可得（x₁-1）（x₂-1）＜0；
解：（2）不妨令x₂＞1，
则x₁+x₂+f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}}$+x₂+2lnx₂＞M恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{x}+x+2lnx$，x＞1，
则g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+1+$\frac{2}{x}$=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
则g（x）在（1，+∞）上恒成立，
由g（1）=2，可得M≤2，
即M的最大值为2．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．