题目内容

15．若s，t均为正数，且s+t=1，则$\frac{st}{（st+1）（st+4）}$的最大值是（　　）
A．$\frac{4}{85}$B．$\frac{7}{72}$C．$\frac{1}{9}$D．$\frac{1}{7}$

分析 先运用基本不等式得st∈（0，$\frac{1}{4}$]，再换元，并利用双勾函数的单调性求原式的最大值．

解答 解：因为s，t均为正数，且s+t=1，
则st≤$（\frac{s+t}{2}）^2$=$\frac{1}{4}$，即st∈（0，$\frac{1}{4}$]，
令x=st∈（0，$\frac{1}{4}$]，
则$\frac{st}{（st+1）（st+4）}$=$\frac{x}{（x+1）（x+4）}$
=$\frac{x}{x^2+5x+4}$=$\frac{1}{x+\frac{4}{x}+5}$，
因为函数y=x+$\frac{4}{x}$在（0，2）单调递减，且x∈（0，$\frac{1}{4}$]，
所以，当x=$\frac{1}{4}$时，x+$\frac{4}{x}$取得最小值$\frac{1}{4}$+16=$\frac{65}{4}$，
所以，$\frac{st}{（st+1）（st+4）}$的最小值为：$\frac{1}{\frac{65}{4}+5}$=$\frac{4}{85}$，
故答案为：A．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及换元法和双勾函数的性质，属于中档题．

练习册系列答案
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