Question

5．已知函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在x∈[-2π，2π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），由周期公式可得；
（2）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函数的单调递增区间，取x∈[-2π，2π]上部分的即可．

解答 解：（1）化简可得f（x）=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
由x∈[-2π，2π]可得单调递增区间为[-$\frac{5π}{3}$，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．