Question

设实数x，y满足x+y=1，则

4

x

+

x

y

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由x+y=1得y=1-x，代入

4

x

+

x

y

中，并构造函数t，求函数的值域即可．

解答： 解：∵x+y=1，∴y=1-x，
∴

4

x

+

x

y

=

4

x

+

x

1-x

=

4(1-x)+x2

x(1-x)

；
设t=

4(1-x)+x2

x(1-x)

，
则（t+1）x²-（t+4）x+4=0，
当t=-1时，-3x+4=0，
∴x=

4

3

，此时y=-

1

3

；
当t≠-1时，有[-（t+4）]²-4（t+1）×4≥0；
即t²-8t≥0，解得t≤0，或t≥8；
综上，知t的取值范围是t≤0，或t≥8；
∴

4

x

+

x

y

的取值范围是（-∞，0]∪[8，+∞）．
故答案为：（-∞，0]∪[8，+∞）．

点评：本题考查了求代数式的取值范围的问题，解题时应根据题目中的条件，把代数式化为求函数的值域问题，是基础题．