Question

14．已知F₁，F₂是双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F₂作∠F₁PF₂的角平分线的垂线，垂足为A．若$|{OA}|=\frac{b}{2}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 2+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可知：丨PQ丨=丨PF₂丨，则丨丨PF₁丨-丨PF₂丨丨=2a，丨PF₁丨-丨PQ丨=丨QF₁丨=2a，由OA是△F₂F₁Q的中位线，丨QF₁丨=2a=2丨OA丨=b，a=$\frac{b}{2}$，c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．

解答 解：∵F₁，F₂是双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点，
延长F₂A交PF₁于Q，
∵PA是∠F₁PF₂的角平分线，
∴丨PQ丨=丨PF₂丨，
∵P在双曲线上，则丨丨PF₁丨-丨PF₂丨丨=2a，
∴丨PF₁丨-丨PQ丨=丨QF₁丨=2a，
∵O是F₁F₂中点，A是F₂Q中点，
∴OA是△F₂F₁Q的中位线，
∴丨QF₁丨=2a=2丨OA丨=b，
∴a=$\frac{b}{2}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的性质，是中档题．