Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

1

2

x，-sin

1

2

x），且x∈[0，

π

2

]
（Ⅰ）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（Ⅱ）若函数f（x）=

a

•

b

-4m|

a

+

b

|+1的最小值为-

1

2

，求m的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算及其性质即可得出；
（II）利用（I）通过分类讨论，利用换元法和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
|

a

|=

cos2 3x 2 +sin2 3x 2

=1，|

b

|=

cos2 x 2 +sin2 x 2

=1．
∵x∈[0，

π

2

]，∴|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2+2cos2x

=

4cos2x

=2cosx．
（Ⅱ）f（x）=

a

•

b

-4m|

a

+

b

|+1=cos2x-8mcosx+1=2cos²x-8mcosx，
令cosx=t，∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]，f（x）=2t²-8mt，
（1）当2m≤0，即m≤0时，f_min（x）=0不符合题意．
（2）当0＜2m＜1，即0＜m＜

1

2

时，fmin(x)=-8m2，由-8m2=-

1

2

解得m=±

1

4

，
又0＜m＜

1

2

，∴m=

1

4

．
（3）当2m≥1，即m≥

1

2

时，f_min（x）=2-8m，由2-8m=-

1

2

，解得m=

5

16

，
又m＞

1

2

，∴m=

5

16

 不符合题意．
综上可知：m的值为

1

4

．

点评：本题考查了数量积运算及其性质、分类讨论、换元法和二次函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．