Question

是否存在常数k∈R，使得函数f（x）=x⁴+（2-k）x²+（2-k）在（-∞，-1）上是减函数，且在[-1，0]上是增函数？若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：根据函数f（x）在（-∞，-1）上是减函数，且在[-1，0]上是增函数，得到x=-1是函数f（x）的一个极小值，即f'（-1）=0，然后利用导数和极值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：要使函数f（x）在（-∞，-1）上是减函数，且在[-1，0]上是增函数，
则x=-1是函数f（x）的一个极小值，即f'（-1）=0，
∵f（x）=x⁴+（2-k）x²+（2-k），
∴f'（x）=4x³+2（2-k）x，
由f'（-1）=-4-2（2-k）=0，
解得k=4，
此时f'（x）=4x³-4x=4x（x²-1），
由f'（x）=4x（x²-1）＞0得x＞1或-1＜x＜0，此时函数单调递增，
由f'（x）=4x（x²-1＜0得x＜-1或0＜x＜1，此时函数单调递减，满足条件．
故存在k=4，满足条件．

点评：本题主要考查导数和极值之间的关系的应用，要求熟练掌握导数的公式以及函数性质和导数之间的关系．