Question

8．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量$\overrightarrow{m}$=（b-c，c-a），$\overrightarrow{n}$=（b，c+a），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．若直线y=bx+c过圆C：x²+y²-2x-2y=1的圆心，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{16}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用向量$\overrightarrow{m}$=（b-c，c-a），$\overrightarrow{n}$=（b，c+a），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，结合余弦定理，求出A，利用直线y=bx+c过圆C：x²+y²-2x-2y=1的圆心（1，1），可得b+c=1，bc≤$\frac{1}{4}$，由此可求△ABC面积的最大值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{m}$=（b-c，c-a），$\overrightarrow{n}$=（b，c+a），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴b（b-c）+（c-a）（c+a）=0，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=60°，
∵直线y=bx+c过圆C：x²+y²-2x-2y=1的圆心（1，1），
∴b+c=1，∴bc≤$\frac{1}{4}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{16}$，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{16}$，
故选B．

点评 本题考查向量数量积公式，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．