Question

3．已知椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），A，B是C上的动点，且满足OA⊥OB（O为坐标原点），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为（-4，$\frac{π}{3}$）．
（1）求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程；
（2）利用椭圆C的极坐标方程证明$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$为定值，并求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）依据点DA、的直角坐标，求出线段AD的中点M（-1+cosα，-$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}sinα$），消去参数得M的轨迹E的普通方程
（2）椭圆C的极坐标方程为：ρ²+3ρ²sin²θ=4⇒${ρ}^{2}=\frac{4}{1+{3sin}^{2}θ}$；设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），即$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{1+3si{n}^{2}θ}{4}+\frac{1+3si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{4}$=$\frac{5}{4}$△AOB面积s=$\frac{1}{2}{ρ}_{1}{ρ}_{2}=\frac{2}{\sqrt{（1+3si{n}^{2}θ）（1+3si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{2}{\sqrt{4+\frac{9}{4}si{n}^{2}2θ}}$

解答 解：（1），点D的直角坐标为（-2，-2$\sqrt{3}$），由题意设A（2cosα，sinα），
∴线段AD的中点M（-1+cosα，-$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}sinα$），∴点D的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosα}\\{y=-\sqrt{3}+\frac{1}{2}sinα}\end{array}\right.$，消去参数
M的轨迹E的普通方程：（x+1）²+4（y+$\sqrt{3}$）²=1；
（2）椭圆C的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，化为极坐标方程为：ρ²+3ρ²sin²θ=4⇒${ρ}^{2}=\frac{4}{1+{3sin}^{2}θ}$；
∵OA⊥OB，∴设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）
即$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{1+3si{n}^{2}θ}{4}+\frac{1+3si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{4}$=$\frac{5}{4}$（定值）
△AOB面积s=$\frac{1}{2}{ρ}_{1}{ρ}_{2}=\frac{2}{\sqrt{（1+3si{n}^{2}θ）（1+3si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{2}{\sqrt{4+\frac{9}{4}si{n}^{2}2θ}}$≤1，
∴△AOB面积的最大值为1．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、极坐标的应用、三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题