Question

9．已知△ABC中，点A（-2，0），B（2，0），C（x，1）
（i）若∠ACB是直角，则x=$±\sqrt{3}$
（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是（-2，-$\sqrt{3}$）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 （i）求出$\overrightarrow{CA}$=（-2-x，-1），$\overrightarrow{CB}$=（2-x，-1），由∠ACB是直角，则$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=0，由此能求出x．
（ii）分别求出$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$，由△ABC是锐角三角形，得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}＞0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}＞0}\\{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}＞0}\end{array}\right.$，由此能求出x的取值范围．

解答 解：（i）∵△ABC中，点A（-2，0），B（2，0），C（x，1），
∴$\overrightarrow{CA}$=（-2-x，-1），$\overrightarrow{CB}$=（2-x，-1），
∵∠ACB是直角，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=（-2-x）（2-x）+（-1）（-1）=x²-3=0，
解得x=$±\sqrt{3}$．
（ii）∵△ABC中，点A（-2，0），B（2，0），C（x，1），
∴$\overrightarrow{CA}$=（-2-x，-1），$\overrightarrow{CB}$=（2-x，-1），$\overrightarrow{AC}$=（x+2，1），$\overrightarrow{AB}$=（4，0），$\overrightarrow{BC}$=（x-2，1），$\overrightarrow{BA}$=（-4，0），
∵△ABC是锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}={x}^{2}-3＞0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=4（x+2）＞0}\\{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}=-4（x-2）＞0}\end{array}\right.$，解得-2＜x＜-$\sqrt{3}$或x＞2．
∴x的取值范围是（-2，-$\sqrt{3}$）∪（2，+∞）．
故答案为：$±\sqrt{3}$，（-2，-$\sqrt{3}$）∪（2，+∞）．

点评 本题考查向量的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．