Question

3．如图：已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为6的正方形ABCD，PA=8，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．
（1）求证：AB⊥MN
（2）求异面直线AM与PB所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意，证明线线垂直，利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”即可解决．
（2）异面直线所成角，首先要构造出这两条异面直线的平行线相交的角，即为异面直线所成角．由题意，分别取AB，PA中点E，F，连接CE，EF，CF，所以异面直线AM与PB所成角的大小即相交直线CF与EF所成角的大小．

解答 解：（1）分别取AB，PA中点E，F，连接CE，EF，CF，NE，ME．
∵E是AB中点，点N是PB的中点，
∴$E{N}_{=}^{∥}\frac{1}{2}AP$
∵PA⊥面ABCD，
∴NE⊥面ABCD，NE⊥AB．
又∵MN∥BC，∴MN⊥AB．
所以：AB⊥MN，
得证．

（2）∵E是AB中点，F是PA中点E，N是PB的中点，点M是CD的中点
∴AM${\;}_{=}^{∥}$CE，FE${\;}_{=}^{∥}\frac{1}{2}PB$．
所以：异面直线AM与PB所成角的大小即相交直线CF与EF所成角的大小
在△CEF中：EC=MA=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$3\sqrt{5}$，FE=$\frac{1}{2}PB=5$，FC=$\sqrt{A{F}^{2}+A{C}^{2}}=2\sqrt{22}$．
利用余弦定理：
cos∠FEC=$\frac{F{E}^{2}+E{C}^{2}-F{C}^{2}}{2EF•EC}=\frac{25+45-88}{2×3\sqrt{5}×5}=-\frac{3\sqrt{5}}{25}$
∵cos∠FEC＜0，
∴∠FEC是钝角．
所以异面直线AM与PB所成角的大小为π-$arccos\frac{{3\sqrt{5}}}{25}$．

点评 本题考查了“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”证明线线垂直问题．考查了异面直线所成角问题．还利用了余弦定理求角度，注意异面直线所成角范围是（0，π]，这是易错点．属于中档题．