Question

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b（1-2cosA）=2acosB．
（1）证明：b=2c；
（2）若a=1，tanA=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）利用同角三角函数基本关系式可得cosA，sinA．再利用余弦定理可得c，利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵b（1-2cosA）=2acosB，
∴由正弦定理得sinB（1-2cosA）=2sinAcosB，∴sinB=2sinBcosA+2sinAcosB=2sin（A+B）=2sinC，∴b=2c．
（2）∵tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=2$\sqrt{2}$，∴sinA=2$\sqrt{2}$cosA，∴sin²A+cos²A=$（2\sqrt{2}cosA）^{2}$+cos²A=1，
A为锐角，解得$cosA=\frac{1}{3}$，∴$sinA=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
由余弦定理有$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，即$\frac{1}{3}=\frac{{4{c^2}+{c^2}-1}}{{4{c^2}}}$，解得${c^2}=\frac{3}{11}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA={c^2}sinA=\frac{3}{11}•\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{{2\sqrt{2}}}{11}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．