Question

8．求函数$y={log}_{\frac{1}{2}}sin（\frac{π}{3}-2x）$的单调递增区间．

Answer 1

分析 先化简函数的解析式，复合函数的单调性，对数函数的单调性可得，本题即求sin（2x-$\frac{π}{3}$）的单调递增区间，且sin（2x-$\frac{π}{3}$）小于0恒成立，故有2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{3}$＜2kπ（k∈Z），由此求得原函数的增区间．

解答 解：函数$y=\frac{{{{log}_2}[{-sin（2x-\frac{π}{3}）}]}}{{{{log}_2}\frac{1}{2}}}=-{log_2}[{-sin（{2x-\frac{π}{3}}）}]$，∵2＞1，由复合函数的单调性知，
本题即求sin（2x-$\frac{π}{3}$）的单调递增区间，且sin（2x-$\frac{π}{3}$）小于0恒成立．
∴2x-$\frac{π}{3}$在第四象限．∴2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{3}$＜2kπ（k∈Z）．
解得：kπ-$\frac{π}{12}$＜x＜kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．
∴原函数的单调递增区间为（kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{6}$）（k∈Z）．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、正弦函数的单调性，属于中档题．