Question

若f（x）=2sin²ωx+sin（2ωx-

π

6

）（ω＞0）对任意实数x都有f（x+

π

2

）=f（x-

π

2

），则f（

7π

24

）=

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：通过两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，由f（x+π）=f（x），求出函数的周期，然后求函数f（x）的解析式，即可求值．

解答： 解：f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+1-cos2ωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+1-cos2ωx
=

3

sin（2ωx-

π

3

）+1…（3分）
∵f（x+π）=f[（x+

π

2

）+

π

2

]=f（（x+

π

2

）-

π

2

）=f（x），
∴T=π，∴

2π

2ω

=π，ω=1，
∴函数的解析式为：f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）+1…（6分）
∴则f（

7π

24

）=

3

sin（2×

7π

24

-

π

3

）+1=

6

2

+1．
故答案为：

6

2

+1．…（9分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的解析式的求法，考查计算能力，属于中档题．