Question

2．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为4，PA=PD=$\sqrt{13}$，侧面PAD⊥底面ABCD，在四棱锥内放一个球，要使它的体积最大，则球的半径为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 作出棱锥直观图，取AD，BC中点E，F，则棱锥内切球的半径为△PEF的内切圆的半径．

解答 解：取AD中点E，连结PE，∵PA=PD，∴PE⊥AD，∴PE=$\sqrt{P{A}^{2}-A{E}^{2}}$=3．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，PE?平面PAD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD．
取BC中点F，连结PF，EF，则PF⊥BC，EF=AB=4，∴PF=$\sqrt{P{B}^{2}-B{F}^{2}}$=5．
∴Rt△PEF的内切圆的半径即为四棱锥内切球的半径，
设Rt△PEF的内切圆的半径为r，由切线长定理得3-r+4-r=5，解得r=1．
故选C．

点评 本题主要考查棱锥的性质以及内切球的相关知识点，发现棱锥的内切球与△PEF的内切圆的关系是关键．