Question

12．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}$a=2csinA．
（1）求C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，a+b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，得到sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后求解C即可．
（2）利用a+b=5，可得a²+2ab+b²=25，然后利用余弦定理得ab，即可求解三角形的面积．

解答 解：（1）∵△ABC为锐角三角形，且$\sqrt{3}$a-2csinA=0，
∴由正弦定理，得：$\sqrt{3}$sinA-2sinCsinA=0，…（2分）
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（4分）
故C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵a+b=5，∴a²+2ab+b²=25（1）…（7分）
又∵c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理，得a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=7，即a²+b²-ab=7（2）…（9分）
由（1）、（2）两式得：ab=6，…（11分）
故由三角形的面积公式，得S=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$． …（14分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力，属于中档题．