Question

15．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x-2y-5=0．求
（Ⅰ）AC所在的直线方程；
（Ⅱ）点B的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC所在的直线方程为2x+y+t=0，代入A（5，1），即可AC所在的直线方程；
（Ⅱ）设B（x₀，y₀），则AB的中点为$（\frac{{{x_0}+5}}{2}，\frac{{{y_0}+1}}{2}）$．联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x_0}-2{y_0}-5=0\\ 2×\frac{{{x_0}+5}}{2}-\frac{{{y_0}+1}}{2}-5=0.\end{array}\right.$，即可求出点B的坐标．

解答 解：（Ⅰ）因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线方程为2x+y+t=0．
把A（5，1）代入直线方程为2x+y+t=0，解得t=-11．
所以AC所在的直线方程为2x+y-11=0．          …（5分）
（Ⅱ）设B（x₀，y₀），则AB的中点为$（\frac{{{x_0}+5}}{2}，\frac{{{y_0}+1}}{2}）$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x_0}-2{y_0}-5=0\\ 2×\frac{{{x_0}+5}}{2}-\frac{{{y_0}+1}}{2}-5=0.\end{array}\right.$化简得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}-2{y_0}-5=0\\ 2{x_0}-{y_0}-1=0.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=-1\\{y_0}=-3.\end{array}\right.$即B（-1，-3）．                         …（9分）

点评 本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．