Question

15．如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2AF=2AD，∠BAF=60°．
（1）求证：平面ADF⊥平面ABEF．
（2）求直线CF与平面ADF所成角．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面ABEF即可．
（2）建立空间坐标系，求出平面ADF的法向量，利用向量法结合线面角的关系进行求解即可．

解答 证明：（1）∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABEF．
∵AD?平面ADF，
∴平面ADF⊥平面ABEF．
（2）过B作AB的垂线By，
∵BC⊥平面ABEF．
∴建立以B为坐标原点，BA，By，BC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2AF=2AD，∠BAF=60°，
则设AD=2，则AF=2，AB=4，
则AF'=BE'=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}×2$=1，EE'=FF'=$\sqrt{3}$，EF=E'F'=4-1-1=2，
则A（4，0，0），D（4，0，2），F（3，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，2），
则$\overrightarrow{AD}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AF}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
设平面ADF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=2z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AF}$=-x+$\sqrt{3}$y=0，
令y=1，则x=$\sqrt{3}$，z=0，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{CF}$=（3，$\sqrt{3}$，-2），
设直线CF与平面ADF所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{CF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{CF}|}$|=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}•\sqrt{9+3+4}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2×4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则θ=$\frac{π}{3}$，
即直线CF与平面ADF所成角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及线面角的求解，根据相应的判定定理以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，转化为利用向量进行求解是解决本题的关键．考查学生的转化和运算能力．