Question

3．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=1，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若直线l的参数方程为=$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），求圆C上的点到直线l的距离的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=1，展开化为：x²+y²-2x-4y+4=0，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得极坐标方程．
（2）直线l的参数方程为=$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），化为直角坐标方程：$x-\sqrt{3}y$-1=0，圆C的圆心C到直线l的距离d即可得出圆C上的点到直线l的距离的取值范围是[d-r，d+r]．

解答 解：（1）圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=1，展开化为：x²+y²-2x-4y+4=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．
（2）直线l的参数方程为=$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），化为直角坐标方程：$x-\sqrt{3}y$-1=0，圆C的圆心C（1，2），
圆心到直线l的距离d=$\frac{|1-2\sqrt{3}-1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}}$=$\sqrt{3}$．
∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是$[\sqrt{3}-1，\sqrt{3}+1]$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、点到直线的距离公式、直线参数的方程、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．