Question

6．如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠DAC=30°，∠CAB=45°，且$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，过点A作圆的切线交CD延长线于点T．
（1）求∠DAT．
（2）证明：BC•AD=AB•DT．

Answer 1

分析 （1）证明DC∥AB，可得∠TCA=∠CAB=45°，利用TA是圆的切线，求∠DAT．
（2）证明△ADT∽△ABC，即可证明：BC•AD=AB•DT．

解答 （1）解：∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，∴DC∥AB，
∴∠TCA=∠CAB=45°
∵TA是圆的切线，
∴∠TAD=∠TCA=45° …（5分）
（2）解：∵∠DAT=∠BAC，而∠ADT=∠B，
∴△ADT∽△ABC
∴$\frac{BC}{DT}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴BC•AD=AB•DT …（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．