Question

14．已知点A，B为椭圆的左、右顶点，点C，D为椭圆的上、下顶点，点F为椭圆的右焦点，若CF⊥BD，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}-1}{2}$

Answer 1

分析 利用CF⊥BD，可得a，b，c的关系，进而可得e的方程，即可求出椭圆的离心率．

解答 解：由已知可得：B（a，0），C（0，b），D（0，-b），F（c，0），
∵CF⊥BD，
∴$\overrightarrow{CF}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{CF}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
∴（c，-b）•（-a，-b）=0，
∴-ac+b²=0，
∴-ac+a²-c²=0，
∴e²+e-1=0，
∵0＜e＜1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质考查了推理能力与计算能力，属于基础题．